1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\)
\(y' = - 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}} + x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = - x + 1\) làm tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm\(\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {2; - 1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.