Question

help,tks mn nhiều <(")

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)thì \(x+y+z=0\).Ngoài ra còn suy ra được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)

Xét \(A=x^4+y^4+z^4\)

Khai triển Newton để có được :

\(\left(x+y+z\right)^4=\sum x^4+4\sum xy\left(x^2+y^2\right)+12xyz\left(x+y+z\right)+6\sum x^2y^2\)

Vì x+y+z=0 nên \(\sum x^4=x^4+y^4+z^4=-4\sum xy\left(x^2+y^2\right)-6\sum x^2y^2\)

Mà \(-4\sum xy\left(x^2+y^2\right)=-4\sum xy\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=-4\sum xyz^2+8\sum x^2y^2\)(*)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=2\sum x^2y^2-4\sum xyz^2\)

\(=2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-2xyz^2-2xy^2z-2x^2yz\right)\)

( hm ,có biến ? )

Thực ra từ chỗ (*) thì z ( hoặc x hay y) chưa biết dương hay âm nên có thể đổi thành - z²

Khi đó \(A=2\left(xz+yz-xy\right)^2\)

\(\Rightarrow Bt=\sqrt{2A}=2\left|xz+yz-xy\right|\in Q\)

Câu hỏi đặt ra: liệu có luôn biến đổi được như vậy ? trong trường hợp cả 3 số > 0 thì sao ? Câu trả lời là có.Bởi Vì x+y+z=0 nên phải có ít nhất 1 số khác dấu với 2 số còn lại ( hay dựa vào x+y=-z )