Câu 1:
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\((x^2+3y^2)(1+3)\geq (x+3y)^2\Rightarrow \frac{xy}{\sqrt{x^2+3y^2}+1}\leq \frac{2xy}{x+3y+2}\)
Tương tự với các phân thức còn lại \(\Rightarrow \sum \frac{xy}{\sqrt{x^2+3y^2}+1}\leq \sum \frac{2xy}{x+3y+2}\) \((1)\)
Áp dụng AM-GM:
\(x+3y+2\geq 6\sqrt[6]{xy^3}\Rightarrow \frac{2xy}{x+3y+2}\leq \frac{\sqrt[6]{x^5y^3}}{3}\)
\(\Rightarrow \sum \frac{2xy}{x+3y+2}\leq \sum \frac{\sqrt[6]{x^5y^3}}{3}\)\((2)\) Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(\frac{\sqrt[6]{{x^5y^3}}}{3}\leq \frac{xy+xy+y+x+x+x}{18}\Rightarrow \frac{\sqrt[6]{{x^5y^3}}}{3}\leq \frac{2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)}{18}\)
Dễ thấy \(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3\rightarrow \sum \frac{\sqrt[6]{x^5y^3}}{3}\leq 1\) \((3)\)
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \sum \frac{xy}{\sqrt{x^2+3y^2}+1}\leq 1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Câu 2:
\(\sum \frac{1}{x+1}=1\Rightarrow xyz=x+y+z+2\). Do đó tồn tại \(a,b,c>0\) sao cho \((x,y,z)=\left ( \frac{a+b}{c},\frac{b+c}{a},\frac{c+a}{b} \right )\)
Áp dụng AM-GM: \(\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}}\geq \sum \frac{2}{x^2+2}\)
Thay \(x,y,z\) bằng các phân thức phía trên, ta có:
\(\sum \frac{2}{x^2+2}=\sum \frac{2c^2}{(a+b)^2+2c^2}\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\leq \sum \frac{2c^2}{(a+b)^2+2c^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{2c^2}{(a+b)^2+2c^2}=2\sum \frac{c^4}{c^2(a+b)^2+2c^4}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2abc(a+b+c)}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}=1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c>0\Leftrightarrow x=y=z=2\)
