Question

giúp em câu b với ạ em đang cần gấp

b) Gọi \( E, N \) lần lượt là giao điểm của \( MA \) với \( BC \) và \( (O) \). \( BN \) cắt \( AO \) tại \( I \). Chứng minh \( EI // BM \) và \( EI \cdot HM = BI \cdot BH \)

Answer 1

Cho:

(O): Đường tròn tâm OA: Điểm nằm ngoài (O)AB, AC: Tiếp tuyến của (O) từ A (B, C là tiếp điểm)H: Giao điểm của BC và OABM: Đường kính của (O)E: Giao điểm của MA và BCN: Giao điểm của MA và (O) (N khác M)I: Giao điểm của BN và AO

Chứng minh:

a) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.b) EI // BM và BI.HM = BL.BH

Lời giải:

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: AB, AC là tiếp tuyến của (O)Suy ra: AB ⊥ OB tại B và AC ⊥ OC tại CSuy ra: ∠ABO = 90° và ∠ACO = 90°Xét tứ giác ABOC có:∠ABO + ∠ACO = 90° + 90° = 180°Mà ∠ABO và ∠ACO là hai góc đối nhau.Suy ra: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (đường tròn đường kính AO).Vậy: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EI // BM và BI.HM = BL.BH

Chứng minh EI // BM:

Ta có: BM là đường kính của (O)Suy ra: ∠BNM = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Suy ra: BN ⊥ NM hay BN ⊥ ANLại có: AB, AC là tiếp tuyến của (O)Suy ra: OA là đường trung trực của BCSuy ra: OA ⊥ BC tại HXét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao:Suy ra: AB² = AH.AO (hệ thức lượng)Xét ΔABN và ΔANB có:∠BAN chung∠ABN = ∠ANB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BN)Suy ra: ΔABN ~ ΔANB (g.g)Suy ra: AB/AN = AN/ABSuy ra: AB² = AN.AMTừ (1) và (2) suy ra: AH.AO = AN.AMSuy ra: AH/AM = AN/AOXét ΔAHN và ΔAMO có:∠OAM chungAH/AM = AN/AO (cmt)Suy ra: ΔAHN ~ ΔAMO (c.g.c)Suy ra: ∠AHN = ∠AMOMà hai góc này ở vị trí đồng vị.Suy ra: HN // MOMà HN // BC (cùng vuông góc OA)Suy ra: HE // BMTa có I thuộc AO suy ra IH ⊥ BC tại H, do đó IH vuông góc HETa lại có HE // BM suy ra IH vuông góc BM.Do đó ∠IHE = ∠IHB = 90°Tứ giác IEHB có ∠IHE + ∠IBE = 90° + 90° = 180°, do đó tứ giác IEHB nội tiếpMà ∠IBH = 90° suy ra ∠IEH = 90°Ta có: ∠IEH = ∠M = 90° và hai góc này ở vị trí đồng vị.Suy ra: EI // BM

Chứng minh BI.HM = BL.BH:

Gọi L là giao điểm của BH với đường tròn đường kính OATa có ∠BLA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Do đó BL vuông góc với ANTa đã chứng minh BN vuông góc với ANSuy ra BL // BNXét ΔABI có BL // BI, ta có:BL/BI = AL/AI (định lý Talet)Mà tứ giác IEHB nội tiếp, suy ra ∠IHE = ∠IBE = 90°Suy ra: ∠HIB = ∠HEB = ∠AEI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB)Ta có: ∠HIB = ∠AEI, ∠BHI = ∠EAI (do ΔAHN ~ ΔAMO)Suy ra: ΔBHI ~ ΔEAI (g.g)Suy ra: BH/EA = HI/AIDo đó AL/HI = BH/EA (3)Ta có EI // BM suy ra tứ giác EIMH là hình thangSuy ra HM = EI (4)Ta có BL/BI = AL/AI và BH/EA = HI/AI suy ra BL/BI * BH/EA = AL/AI * HI/AI = (ALHI)/(AIAI)Từ (3) suy ra AL/HI = BH/EA thay vào biểu thức trên ta có BL/BI * BH/EA = (BH/EA)*(BH/EA)Suy ra BL.BH = BI.EATừ (4) suy ra: BL.BH = BI.HM