Question

Giải phương trình :

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)

Answer 1

Với mọi x thuộc tập xác định, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=1\sqrt{x-2}+1\sqrt{4-x\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)}=2}\)

còn

\(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

do đó 

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)  \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(x=3\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)