Ta có \(x-\sqrt{x^2+4}\ne0\) và \(y-\sqrt{y^2+1}\ne0\)
Nhân 2 vế của pt đầu cho \(x-\sqrt{x^2+4}\) ta được:
\(x-\sqrt{x^2+4}=-2\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\) (1)
Nhân 2 vế của pt đầu cho \(y-\sqrt{y^2+1}\) ta được:
\(x+\sqrt{x^2+4}=-2\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: \(2x=-4y\Rightarrow x=-2y\)
Biến đổi pt dưới 1 chút:
\(3\left(-2y\right)^2+5\left(-2y\right)+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)
\(\Leftrightarrow3x^2+5x+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+2\left(x+1\right)=x^3+1+2\sqrt[3]{x^3+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+2\left(x+1\right)=\left(\sqrt[3]{x^3+1}\right)^3+2\sqrt[3]{x^3+1}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^3+2t\), ta có \(f'\left(t\right)=3t^2+2>0\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow x+1=\sqrt[3]{x^3+1}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=x^3+1\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=x^3+1\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=0\\x=-1\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
