Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Văn Châu

Giải hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y+z=-2\\x^2+y^2+z^2=6\\x^5+y^5+z^{ }=-32\end{cases}\)

Đỗ Hạnh Quyên
13 tháng 5 2016 lúc 20:32

Đặt \(p=x+y+z\)

       \(q=xy+zy+zx\)

        \(r=xyz\)

Ta có :

    \(2q=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=4-6=-2\Rightarrow q=-1\)

Bây giờ ta sẽ đi tìm r

Đặt \(S_n=x^n+y^n+z^n\)

Khi đó \(S_0=3\)

           \(S_1=-2\)

            \(S_2=6\)

Ta có :

\(S_n-\left(x+y+z\right)S_{n-1}+\left(xy+yz+zx\right)S_{n-2}-xýzS_{n-3}=0\)

Suy ra \(S_n=-2S_{n-1}+S_{n-2}+rS_{n-3}\)

Lấy n = 3, ta được :

\(S_3=-2S_2+S_1+rS_0=-14+3r\)

Lấy n = 4, ta được :

\(S_4=-2S_3+S_2+rS_1=28-6r+6-2r=34-8r\)

Lấy n = 5, ta được :

\(S_5=-2S_4+S_3+rS_2=-68+16r-14+3r+6r=-82+25r\)

Mà \(S_5=-32\) nên r = 2.

Do đó x, y, z là nghiệm của phương trình

\(t^3+2t^2-t-2=0\Leftrightarrow t\in\left\{1;-1;-2\right\}\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left\{1;-1;-2\right\}\) và các hoán vị của nó

 

 


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết
Võ Tân Hùng
Xem chi tiết
Bùi Bích Phương
Xem chi tiết
Võ Bình Minh
Xem chi tiết
Lại Thị Hồng Liên
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Anh
Xem chi tiết
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết
Nguyen Phuong
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Phát
Xem chi tiết