Question

Chứng tỏ rằng \(\int\left(n+1\right)x^ndx=x^{n+1}+C\) với n là số nguyên dương.

Answer 1

Do \(\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)' = {x^n}\) nên \(\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^n}\) trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Vậy \(\int {(n + 1){x^n}dx} = (n + 1).\int {{x^n}dx} = (n + 1).\frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C = {n^{n + 1}} + C\).