Question

Chứng minh rằng họ đường thẳng sau luôn tiếp xúc với một đường cong cố định \(\left(C_m\right):y=2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2\)

 

Answer 1

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)

           \(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)

Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)

                       \(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)

Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)

Answer 2

CÁch 1: G/s họ đường thằng trên luôn tiếp xúc với parabol cố định: 
Khi đó:  có nghiệm kép với mọi m
hay  có nghiệm kép với mọi m
Cách 2: Gọi  là các điểm mà họ đường thẳng trên không đi qua.
Hay  vô nghiệm ẩn m
 vô nghiệm ẩn m

Xét đường biên: 
Lập phương trình hoành độ giao điểm ta được: 
Phương trình này luôn có 1 nghiệm kép nên (dm) luôn tiếp xúc (P)