Question

chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(\alpha\) : a) P = sin²\(\alpha\)(1 + cot\(\alpha\)) + cos²\(\alpha\)(1 - tan\(\alpha\))   ;   b) Q = cos⁴\(\alpha\)(3 - 2cos²\(\alpha\)) + sin⁴\(\alpha\)(3 - 2sin²\(\alpha\)) 

Answer 1

a) P = sin²α  + sin²α.\(\frac{cos\text{α}}{sin\text{α}}\) + cos²α - cos²α.\(\frac{sin\text{α}}{cos\text{α}}\)

=sin²α + sinα.cosα + cos²α - cosα.sinα

=sin²α + cos²α

=1

Vậy P không phụ thuộc vào α

b) Q= -cos⁴α(2cos²α -1 -2) +sin⁴α(1 -2sin²α+2)

= -cos⁴α(cos2α -2) +sin⁴α(cos2α +2)

=-cos⁴α.cos2α +2cos⁴α +sin⁴α.cos2α +2sin⁴α

=cos2α(sin⁴α -cos⁴α) +2(sin⁴α +cos⁴α)

=cos2α [\(\left(\frac{1-cos^22\text{α}}{2}\right)^2-\left(\frac{1+cos^22\text{α}}{2}\right)^2\)]+2.[\(\left(\frac{1-cos^22\text{α}}{2}\right)^2+ \left(\frac{1+cos^22\text{α}}{2}\right)^2\)]

= -cos2α.cos2α +1+cos²2α

= -cos²2α +1+cos²2α

=1

Vậy Q không phụ thuộc vào α