Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyên Hoàng Quynh Anh

Cho x,y,z là các số dương và \(x+y+z\ge3\)

Chứng minh rằng : \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{z}+\frac{z}{\sqrt{x}}\ge3\)

Hoàng Thị Ánh Phương
10 tháng 3 2020 lúc 20:49

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\left(a,b,c>0\right)\)

Khi đó :

\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)\(a^2+b^2+c^2\ge3\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{cb^2}+\frac{c^4}{ac^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+cb^2+ac^2}\) ( theo BĐT cô-si schwarz )

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^3+b^2a\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}\)

Khi đó :

\(P\ge\sqrt{3}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}}=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
sunsies
Xem chi tiết
Kem Bánh
Xem chi tiết
Anna Trần
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
HUỲNH TÔ ÁI VÂN
Xem chi tiết
Phan Minh Chi
Xem chi tiết
Nguị Ngọc Bích
Xem chi tiết
Ngoc Anh Vu
Xem chi tiết
Hoa Trần Thị
Xem chi tiết