a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNO\) có:
OF chung
\(\widehat{AON}=\widehat{BON}\) (tia pg)
\(\Rightarrow\Delta ANO=\Delta BNO\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow AO=BO\) (2 cạnh t/ư)
Do đó \(\Delta AOB\) cân tại O.
b) Vì \(\Delta ANO=\Delta BNO\) (câu a)
\(\Rightarrow AN=BN\) (2 cạnh t/ư)
và \(\widehat{OAN}=\widehat{OBN}\) = 90o (2 góc t/ư)
Ta có: \(\widehat{OAN}+\widehat{NAD}=180^o\) (kề bù)
\(\widehat{OBN}+\widehat{NBE}=180^o\) (kề bù)
mà \(\widehat{OAN}=\widehat{OBN}\)
\(\Rightarrow\widehat{NAD}=\widehat{NBE}\)
Xét \(\Delta BEN\) và \(\Delta ADN\) có:
\(\widehat{NBE}=\widehat{NAD}\) (c/m trên)
BN = AN (c/m trên)
\(\widehat{BNE}=\widehat{AND}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\) \(\Delta BEN=\Delta ADN\left(g.c.g\right)\)
c) Gọi giao điểm của ON và DE là I.
Lại do \(\Delta BEN=\Delta ADN\) (câu b)
\(\Rightarrow\) BE = AD (2 cạnh t/ư
Lại có: OA + AD = OD
OB + BE = OE
mà OA = OB; AD = BE
\(\Rightarrow OD=OE\)
Xét \(\Delta\)DIO và \(\Delta\)EIO có:
OD = OE (c/m trên)
\(\widehat{DOI}=\widehat{EOI}\) (tia pg)
OI chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta DIO=\Delta EIO\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DIO}=\widehat{EIO}\) (2 góc t/ư)
mà \(\widehat{DIO}+\widehat{EIO}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DIO}=\widehat{EIO}\) = 90o
Do đó OI \(\perp DE\) hay ON \(\perp DE\).
d) Vì OA = OB nên \(\Delta AOB\) cân tại O
\(\Rightarrow\) \(\widehat{OAB}\) = \(\widehat{OBA}\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{OAB}\) + \(\widehat{OBA}\) + \(\widehat{DOE}\) = 180o
\(\Rightarrow\) 2\(\widehat{OAB}\) = 180o \(-\widehat{DOE}\)
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\frac{180^o-\widehat{DOE}}{2}\) (1)
Do OD = OE nên \(\Delta\)ODE cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{ODE}=\widehat{OED}\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{ODE}+\widehat{OED}+\widehat{DOE}=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{ODE}=180^o-\widehat{DOE}\)
\(\Rightarrow\widehat{ODE}=\frac{180^o-\widehat{DOE}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{OAB}=\widehat{ODE}\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AB // ED.
