Question

cho tam giác vuông ABC vuông tại A , AB<AC , trung tuyến AD . Vẽ DM vuông góc AB , DN vuông góc AC . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD,DB . cm

a) tứ gics AMDN là hình chữ nhật

b) tứ giác INDK là hình bình hành

c) tứ giác DIMK là hình thoi

d) M,N đối xứng nhau qua I

Answer 1

a) Xét tứ giác AMDN, ta có:

^A = ^N = ^M = 90^o (gt)

Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) *Xét △ABD, ta có:

K là trung điểm BD (gt)

I là trung điểm AD (gt)

⇒ KI là đường trung bình của △ABD.

⇒ KI // AB và KI = \(\dfrac{1}{2}\)AB. (1)

*Ta có:

DN ⊥ AC (gt)

AB ⊥ AC (△ABC vuông tại A)

⇒ DN // AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI // DN

*Xét △v ABC, ta có:

BD = CD (gt)

⇒ AD là đường trung tuyến

⇒ AD = BD = \(\dfrac{1}{2}\)AC

⇒ △ABD cân tại D

Mà DM ⊥ AB

⇒ DM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ MA = MB

*Ta có:

MA = \(\dfrac{1}{2}\)AB (cmt)

KI = \(\dfrac{1}{2}\)AB (cmt)

⇒MA = KI

Mà MA = DN (AMDN là hình chữ nhật)

Nên KI = DN

*Ta có:

KI // DN (cmt)

KI = DN (cmt)

Vậy INDK là hình bình hành

c) *Ta có:

KI //AM (KI // AB)

DM ⊥ AM (gt)

⇒KI ⊥ DM

*Xét tứ giác DIMK, ta có:

KI ⊥ DM (cmt)

Vậy DIMK là hình thoi.

d) Xét hình chữ nhật AMDN, ta có:

MN, AD là hai đường chéo

Mà I là trung điểm AD (gt)

Nên I là trung điểm MN

Vậy M, N đối xứng với nhau qua I.

Chúc bn hc tốt!

Answer 2

a) Xét tứ giác AMDN, ta có:

^A = ^N = ^M = 90^o (gt)

Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) *Xét △ABD, ta có:

K là trung điểm BD (gt)

I là trung điểm AD (gt)

⇒ KI là đường trung bình của △ABD.

⇒ KI // AB và KI =

AB. (1)

*Ta có:

DN ⊥ AC (gt)

AB ⊥ AC (△ABC vuông tại A)

⇒ DN // AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI // DN

*Xét △v ABC, ta có:

BD = CD (gt)

⇒ AD là đường trung tuyến

⇒ AD = BD =

AC

⇒ △ABD cân tại D

Mà DM ⊥ AB

⇒ DM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ MA = MB

*Ta có:

MA =

AB (cmt)

KI =

AB (cmt)

⇒MA = KI

Mà MA = DN (AMDN là hình chữ nhật)

Nên KI = DN

*Ta có:

KI // DN (cmt)

KI = DN (cmt)

Vậy INDK là hình bình hành

c) *Ta có:

KI //AM (KI // AB)

DM ⊥ AM (gt)

⇒KI ⊥ DM

*Xét tứ giác DIMK, ta có:

KI ⊥ DM (cmt)

Vậy DIMK là hình thoi.

d) Xét hình chữ nhật AMDN, ta có:

MN, AD là hai đường chéo

Mà I là trung điểm AD (gt)

Nên I là trung điểm MN

Vậy M, N đối xứng với nhau qua I.

Answer 3

a) Xét tứ giác AMDN, ta có:

^A = ^N = ^M = 90^o (gt)

Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) *Xét △ABD, ta có:

K là trung điểm BD (gt)

I là trung điểm AD (gt)

⇒ KI là đường trung bình của △ABD.

⇒ KI // AB và KI = 1212AC

⇒ △ABD cân tại D

Mà DM ⊥ AB

⇒ DM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ MA = MB

*Ta có:

MA = 1212AB (cmt)

⇒MA = KI

Mà MA = DN (AMDN là hình chữ nhật)

Nên KI = DN

*Ta có:

KI // DN (cmt)

KI = DN (cmt)

Vậy INDK là hình bình hành

c) *Ta có:

KI //AM (KI // AB)

DM ⊥ AM (gt)

⇒KI ⊥ DM

*Xét tứ giác DIMK, ta có:

KI ⊥ DM (cmt)

Vậy DIMK là hình thoi.

d) Xét hình chữ nhật AMDN, ta có:

MN, AD là hai đường chéo

Mà I là trung điểm AD (gt)

Nên I là trung điểm MN

Vậy M, N đối xứng với nhau qua I.

Chúc bạn học tốt !!!