Lời giải:
Xét tam giác $BFC$ và $BDA$ có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{BFC}=\widehat{BDA}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle BFC\sim \triangle BDA(g.g)\Rightarrow \frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\)
Xét tam giác $BFD$ và $BCA$ có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}\) (cmt)
\(\Rightarrow \triangle BFD\sim \triangle BCA(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{BCA}(1)\)
Hoàn toàn tương tự: \(\triangle AFE\sim \triangle ACB(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ACB}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{AFE}\)
\(\Leftrightarrow 90^0- \widehat{BFD}=90^0-\widehat{AFE}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{DFH}=\widehat{EFH}\Rightarrow FH\) là tia phân giác góc \(\widehat{DFE}\)
Mà \(FH\perp FA\) nên $FA$ là tia phân giác ngoài góc \(\widehat{DFE}\)
Theo tính chất tia phân giác ngoài và tia phân giác trong:
\(\frac{AI}{AD}=\frac{FI}{FD}=\frac{HI}{HD}\)
\(\Rightarrow AI.HD=AD.HI\)
Ta có đpcm.