a) Ta có $\triangle BDH \sim \triangle BCK$ và $\triangle CEH \sim \triangle CBK$, do đó:
$$\frac{BD}{BC} = \frac{BH}{BK} \Rightarrow BD\cdot BH = BC\cdot BK$$
$$\frac{CE}{CB} = \frac{CH}{CK} \Rightarrow CE\cdot CH = CB\cdot CK$$
b) Từ a), ta có:
$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC\cdot BK + CB\cdot CK = BC(BK+CK) = BC^2$$
Vì $BK+CK=BC$, do đó:
$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2$$
c) Ta có:
$$\frac{AE}{AD} = \frac{CE}{CD} \text{ và } \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$
Nhân vế với nhau, ta được:
$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{CD}\cdot \frac{BD}{CD}$$
Do $CD = BD+CE$ và $\triangle ACD \sim \triangle ABC$, ta có:
$$\frac{CD}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow CD = \frac{AB\cdot AC}{BC}$$
Thay vào phương trình trên ta được:
$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{BD+CE}\cdot \frac{BD}{AB} \Rightarrow \frac{AE\cdot AB}{AD\cdot AC} = \frac{CE\cdot BD}{(BD+CE)\cdot AB}$$
Do đó:
$$\frac{AE}{AC}\cdot \frac{AB}{AD} = \frac{CE}{BC}\cdot \frac{BD}{CD} \Rightarrow AE\cdot AB = AD\cdot AC$$
d) Ta cần chứng minh $\angle EKH = \angle DKH$.
Xét tam giác $EBH$ và $DKH$:
$EB \parallel DK$ (vì $EB \perp AC$ và $DK \perp AC$)$EH \parallel DH$ (vì $EH \perp BC$ và $DH \perp BC$)$\angle BEH = \angle DKH$ (vì cùng bằng $\angle ABC$)Do đó, $\triangle EBH \sim \triangle DKH$ và có:
$$\frac{EK}{EB} = \frac{DH}{BH} \Rightarrow EK = \frac{BD\cdot DH}{BH}$$
Ta cũng có:
$$\frac{DK}{BH} = \frac{DH}{EB} \Rightarrow DK = \frac{CE\cdot DH}{EB}$$
Nhân vế với nhau, ta được:
$$EK\cdot DK = \frac{BD\cdot DH\cdot CE\cdot DH}{BH\cdot EB} = \frac{BD\cdot BH\cdot CE\cdot CH}{BH\cdot EB} = BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2 - KH^2$$
(theo b))
Do đó:
$$KH^2 = BC^2 - EK\cdot DK = (BC-EK)\cdot (BC+DK) = CK\cdot BK$$
(theo a))
Vậy $\triangle KHC \sim \triangle KEB$ và từ đó suy ra $\angle EKH = \angle DKH$ (vì cùng bằng $\angle BAC$). Do đó, $KH$ là phân giác góc $EKD$.
Để chứng minh $\angle EKH = \angle DKH$, ta có thể sử dụng các bước sau:
Do $BD$ và $CE$ lần lượt là đường cao từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$, nên điểm $H$ là trung điểm của đoạn $AO$, trong đó $O$ là trung điểm của đoạn $BC$ (do $AH$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$).Kẻ đường trung trực $OM$ của đoạn $BC$ đi qua $H$. Khi đó, ta có $KH = KM$ vì $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $BC$.Ta có $EM \parallel DK$ (do $EM$ vuông góc $AC$, $DK$ vuông góc $AC$) và $EH \parallel DH$ (do $EH$ vuông góc $BC$, $DH$ vuông góc $BC$).Khi đó, tam giác $EBH$ và tam giác $DKH$ đồng dạng, do đó có $\angle EKH = \angle BEH = \angle DKH$.Vậy ta đã chứng minh được $\angle EKH = \angle DKH$, từ đó suy ra $KH$ là đường phân giác của góc $\angle EKD$.
