a) Tam giác ABC đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác. Do đó, G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Vì G là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác đều ABC (do G là trọng tâm tam giác ABC) nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi D là giao điểm của AG và CB. Suy ra, AG là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABC đều nên AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác. Do đó, \(GD \bot CB\) tại D. Suy ra, GD là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG = 2GD\) suy ra \(GD = \frac{1}{2}AG\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(AG = \frac{\sqrt 3}{3} BC\)
Do đó, \(GD = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt 3}{3} BC = \frac{{\sqrt 3 }}{6}BC\).
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}BC\).