Cho tam giác DE vuông tại D ( DE < DF ). Có đường cao DK. Từ K kẻ KA vuông góc với DE tại A, kẻ KB vuông góc với DF tại B
a, CM : AB = DK
b, Gọi I là trung điểm của KF, C đối xứng với D qua I. Chứng minh DF // CK
c, CM : Tứ giác BFCA là hình thang cân
d, AB cát DK tại O, FO cắt DC tại H. CM : DC = 3DH
Giúp tui gấp !!!
a, Vì ΔDEF vuông tại D⇒ \(\widehat{FDE}=90^0\)
hay \(\widehat{ADB}=90^0\)
Vì DK là đường cao của ΔDEF
⇒ DK ⊥ EF
⇒ \(\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^0\)
Vì KA ⊥ DE ⇒ \(\widehat{DAK}=\widehat{A_1}=90^0\)
Vì KB ⊥ DF ⇒ \(\widehat{DBK}=\widehat{B_1}=90^0\)
Tứ giác ADBK có\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADB}=90^0\\\widehat{DAK}=90^0\\\widehat{DBK}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ AB = DK (hai đường chéo trong hình chữ nhật)(đpcm)
b, Vì C đối xứng với D qua I
⇒ I là trung điểm của CD
Tứ giác DFCK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{I là trung điểm của FK}\\\text{I là trung điểm của CD}\\\text{Đường chéo FK và CD}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác DFCK là hình bình hành
⇒ DF // CK (đpcm)
c,
Vì tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ AK // BD
⇒ AK // DF
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{DF // CK }\\\text{AK // DF}\end{matrix}\right.\)
⇒ A, K, C thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
Vì DF // CK
⇒ BF // AC
⇒ Tứ giác BFAC là hình thang (1)
Kẻ thêm: Từ F kẻ FN ⊥ AC
⇒ \(\widehat{CNF}=\widehat{KNF}=90^0\)
Vì tứ giác ADBK là hình chữ nhật
⇒ \(\widehat{AKB}=90^0\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{FN ⊥ AC}\\\text{BF // AC}\end{matrix}\right.\)⇒ BF ⊥ FN
⇒ \(\widehat{BFN}=90^0\)
Tứ giác BFNK có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFN}=90^0\\\widehat{B_1}=90^0\\\widehat{KNF}=90^0\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác BFNK là hình chữ nhật
⇒ FN = BK (2 đường chéo)
Vì tứ giác DFCK là hình bình hành
⇒ CF = DK
mà AB = CK
⇒ AB = CF
ΔABK và ΔCFN có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = CF}\\\widehat{CNF}=\widehat{AKB}=90^0\\\text{FN = BK}\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔABK ~ ΔCFN (ch.cgv)
⇒ \(\widehat{A_2}=\widehat{ACF}\) (2)
Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác BFCA là hình thang cân (đpcm)
d, Ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Tứ giác ADBK là hình chữ nhật}\\\text{Đường chéo AB và DK}\\\text{AB cắt DK tại O}\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{O là trung điểm của AB }\\\text{O là trung điểm của DK }\end{matrix}\right.\)
Vì I là trung điểm của FK
⇒ DI là đường trung tuyến của ΔCDK
Vì O là trung điểm của DK
⇒ FO là đường trung tuyến của ΔCDK
ΔCDK có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{DI là đường trung tuyến của ΔCDK}\\\text{FO là đường trung tuyến của ΔCDK}\\\text{DI cắt FO tại H}\end{matrix}\right.\)
⇒ H là trọng tâm của ΔCDK
⇒ DH = \(\frac{2}{3}\)DI (Trọng tâm của tam giác cách đều mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó) (3)
Vì I là trung điểm của CD
⇒ DI = \(\frac{1}{2}\)CD (4)
Thay (4) vào (3), ta có
DH = \(\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\)CD
⇒ DH = \(\frac{1}{3}\)CD
⇒ CD = 3DH (đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
