Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, E là điểm bất kỳ trên AB. Vẽ HF vuông góc với HE (F thuộc AC).

a) Chứng minh tam giác BEH đồng dạng tam giác AFH.

b) Chứng minh HE.BC = EF.AB

Answer 1

a) ta có

\(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0;\widehat{HAB}+\widehat{HAF}=90^0\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{HAF}\left(1\right)\)

\(\widehat{BHE}+\widehat{EHA}=90^0;\widehat{EHA}+\widehat{FHA}=90^0\Rightarrow\widehat{BHE}=\widehat{FHA}\left(2\right)\)

xét △BEH và △AFH có

(1) và (2)

⇒ △BEH ~ △AFH(g - g)

b) xét △AHB và △CAB có

\(\widehat{H}=\widehat{A}=90^0;\widehat{B}\) chung

⇒ △AHB ~ △CAB (g - g)

\(\Rightarrow\frac{BH}{BA}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AC}\)

từ câu a ⇒ \(\frac{EH}{FH}=\frac{BH}{AH}\)

⇒ \(\frac{AB}{AC}=\frac{EH}{FH}\Rightarrow\frac{AB}{EH}=\frac{AC}{FH}\left(3\right)\)

xét △CAB và △FHE có

(3); \(\widehat{A}=\widehat{H}=90^0\)

⇒ △CAB ~ △FHE (g - g)

⇒ \(\frac{AB}{HE}=\frac{BC}{EF}\Rightarrow AB.EF=HE.BC\) ⇒ đpcm