Lời giải:
1) Vì $BN,CM$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:
\(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}(=90^0)\)
Hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác $BMNC$ nội tiếp, hay $B,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $BC$
Gọi $T$ là trung điểm của $AH$
Ta thấy $NT$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ của tam giác $ANH$ nên \(NT=\frac{AH}{2}=r\), do đó $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$
\(NT=\frac{AH}{2}=TH\Rightarrow \) tam giác $TNH$ cân tại $T$
\(\Rightarrow \widehat{TNH}=\widehat{THN}=\widehat{BHK}(1)\)
Tương tự, tam giác vuông $BNC$ có đường trung tuyến $NO$ nên \(NO=\frac{BC}{2}=OB\)
\(\Rightarrow \triangle OBN\) cân tại $O$
\(\Rightarrow \widehat{BNO}=\widehat{OBN}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{TNH}+\widehat{BNO}=\widehat{BHK}+\widehat{OBN}\)
\(\Rightarrow \widehat{TNO}=\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^0\)
\(\Rightarrow NT\perp ON\)
Do đó ON là tiếp tuyến của $(T)$
