Question

cho tam giác ABC nhọn , 2 đường cao BE , CF cắt nhau tại H , E thuộc AC , F thuộc AB , AH cắt BC tại D

a) chứng minh AD vuông góc với DC

b) chứng minh : HA.HD=HE.HB=HF.HC

c) chứng minh tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC.

Answer 1

a: Xét ΔABC có 

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AD vuông góc với BC

b: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔHFB\(\sim\)ΔHEC

Suy ra: HF/HE=HB/HC

hay \(HF\cdot HC=HB\cdot HE\left(1\right)\)

Xét ΔAHF vuông tại F và ΔCHD vuông tại D có 

\(\widehat{AHF}=\widehat{CHD}\)

Do đó: ΔAHF\(\sim\)ΔCHD

SUy ra: HA/HC=HF/HD

hay \(HF\cdot HC=HA\cdot HD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HF\cdot HC=HA\cdot HD=HE\cdot HB\)

c: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc BAE chung

Do đó:ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có 

AE/AB=AF/AC

góc FAE chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC