Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(H\), \(D\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AB\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ADHC\) là hình thang
b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(D\). Chứng minh rằng tứ giác \(AHBE\) là hình chữ nhật
c) Tia \(CD\) cắt \(AH\) tại \(M\) và cắt \(BE\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMBN\) là hình bình hành.
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(AB = AC\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AH\) là trung tuyến (gt)
Suy ra \(AH\) là đường cao
Suy ra \(AH \bot BC\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HD\) là trung tuyến
Suy ra \(HD = \frac{1}{2}AB\)
Mà \(DA = DB = \frac{1}{2}AB\) (do \(D\) là trung điểm \(AB\))
Suy ra \(DA = DB = HD\)
Suy ra \(\Delta DHB\) cân tại \(D\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{DHB}}}\)
Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (cmt)
Suy ra \(\widehat {{\rm{DHB}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị
Suy ra \(DH\) // \(AC\)
Suy ra \(ADHC\) là hình thang
b) Vì \(E\) đối xứng với \(H\) qua \(D\) (gt)
Suy ra \(D\) là trung điểm của \(HE\)
Xét tứ giác \(AHBE\) ta có:
Hai đường chéo \(HE\) và \(AB\) cắt nhau tại trung điểm \(D\)
Suy ra \(AHBE\) là hình bình hành
Mà \(\widehat {{\rm{AHB}}} = 90^\circ \) (cmt)
Suy ra \(AHBE\) là hình chữ nhật
c) Vì \(AHBE\) là hình chữ nhật (cmt)
Suy ra \(AH\) // \(BE\) và \(AH = BE\)
Xét \(\Delta DEN\) và \(\Delta DHM\) ta có:
\(\widehat {{\rm{NED}}} = \widehat {{\rm{DHM}}}\) (do \(BE\) // \(AH\))
\(DE = DH\) (do \(D\) là trung điểm của \(HE\))
\(\widehat {{\rm{EDN}}} = \widehat {{\rm{MDH}}}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\Delta DEN = \Delta DHM\) (g-c-g)
Suy ra \(EN = MH\) (hai cạnh tương ứng)
Mà \(BE = AH\) (cmt)
Suy ra \(BE - EN = AH - MH\)
Suy ra \(NB = AM\)
Mà \(NB\) // \(AM\) (do \(EB\) // \(AH\))
Suy ra \(AMBN\) là hình bình hành
