Question

Cho S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, \(\Delta SAB\) đều và (SAB)\(\perp\left(ABCD\right)\) . Tính khoảng cách từ O đến (SCD)

Answer 1

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow SM\perp AB\Rightarrow SM\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm CD \(\Rightarrow\) O là trung điểm MN và \(CD\perp MN\Rightarrow CD\perp\left(SMN\right)\)

MO cắt (SCD) tại N, mà \(MN=2ON\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

Từ M kẻ \(MH\perp SN\Rightarrow MH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow MH=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(SM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(MN=AD=a\)

\(\frac{1}{MH^2}=\frac{1}{SM^2}+\frac{1}{MN^2}\Rightarrow MH=\frac{SM.MN}{\sqrt{SM^2+MN^2}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}MH=\frac{a\sqrt{21}}{14}\)