Question

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , trên nửa đường tròn lấy điểm C (C không trùng với A,B) . Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB . Trên cung CB lấy điểm D (D khác C,B). Hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E

a) Chứng minh bốn điểm B,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh AC=AE.AD

Answer 1

a. Xét \(\Delta ABD\:\)nội tiếp đường tròn đường kính AB, suy ra \(\widehat{ADB}=90^0\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EHB}=90^0\\\widehat{EDB}=90^0\:\end{matrix}\right.\)cùng nhìn cạnh EB một góc 90⁰

\(\Rightarrow\)Tứ giác BDEH nội tiếp đường tròn đường kính EB

Hay bốn điểm B,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

b. Xét: \(\Delta AEH\:\)và \(\Delta ABD\)có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEH}=\widehat{ABD\: }\\\widehat{AHE}=\widehat{ADB}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AEH\: \sim\Delta ABD\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}\Leftrightarrow AH.AB=AD.AE\:\)

Xét tam giác ABC vuông tại C có CH là đường cao, có: AC²=AH.AB

Mà AH.AB=AD.AE

Suy ra AC²=AD.AE (dpcm)

Answer 2

https://i.imgur.com/64v527N.jpg