Cho hình thoi ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại E. Từ A kẻ đường thẳng song song với BD và cắt BC tại M.Từ B kẻ đường thẳng song song vs AC cắt AM tại F. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống MC.
a) tứ giác AEBF là hình gì ? Vì sao ?
b)Chứng minh B là trung điểm của MC
c) Chứng minh AH*MC=BD*AC
hình:
~~~
a/ Hthoi ABCD có 2 đường chéo BD và AC cắt nhau tại E
=> BD _|_ AC => góc E1 = 90o
Vì AM // BD => góc FAE = 90o
BF // AC => góc FBE = 90o
Tứ giác AEBF có: \(\widehat{E_1}=\widehat{FAE}=\widehat{FBE}=90^o\)
=> tứ giác AEBF là hcn
b/ Vì AM cắt BC tại M nên 3 điểm M,B,C thẳng hàng (1)
BC // AD => MB // AD
mặt khác: AM // BD
=> AMBD là hbh => MB = AD (*)
mà ABCD là hthoi => AB = BC = AD (**)
Từ (*) , (**) => MB = BC (2)
Từ (1) và (2) => B là trung điểm của MC (đpcm)
c/ Xét 2Δvuông: AMH và CMA có:
\(\widehat{M}:chung\)
\(\widehat{AHM}=\widehat{CAM}=90^o\)
=> ΔAMH ~ ΔCMA (g.g)
=> \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH\cdot MC=AM\cdot AC\)
Lại có: AM = BD (AMBD là hbh)
=> AH . MC = BD . AC (đpcm)
