ABC là tam giác đều \(\Rightarrow SH\perp AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Mà AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng vuông góc (SAB) và (ABCD)
\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow SH=d\left(S;\left(ABCD\right)\right)\)
Mà \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
b/ \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow HC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(HC=\sqrt{HB^2+BC^2}=\sqrt{\left(\frac{AB}{2}\right)^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}=\frac{\sqrt{15}}{5}\Rightarrow\widehat{SCH}\approx37^045'\)
c/ Từ D kẻ \(DK\perp CH\) \(\Rightarrow DK\perp\left(SHC\right)\)
\(\Rightarrow DK=d\left(D;\left(SHC\right)\right)\)
\(\widehat{CDK}=\widehat{HCB}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
\(\Rightarrow\Delta_vCDK\sim\Delta_vHCB\Rightarrow\frac{DK}{BC}=\frac{DC}{HC}\)
\(\Rightarrow DK=\frac{BC.DC}{HC}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
