Dễ dàng chứng minh \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Gọi N là trung điểm SH \(\Rightarrow MN//HC\) (đường trung bình)
Trong mặt phẳng đáy, qua D kẻ đường thẳng song song HC cắt BA kéo dài tại P
\(\Rightarrow HC//\left(MNPD\right)\Rightarrow d\left(HC;DM\right)=d\left(HC;\left(MNPD\right)\right)=d\left(H;\left(MNPD\right)\right)\)
Trong mặt phẳng đáy, từ H kẻ \(HE\perp DP\)
\(\Rightarrow DP\perp\left(HEN\right)\)
Trong tam giác vuông HEN, từ H kẻ \(HF\perp EN\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HF\perp EN\\HF\perp DP\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow HF\perp\left(MNPD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(MNPD\right)\right)\)
\(SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow NH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(AP=AH=\frac{a}{2}\Rightarrow DP=\sqrt{AP^2+AD^2}=\frac{3a}{2}\)
\(PH=CD=a\Rightarrow HE=PH.sin\widehat{DPA}=PH.\frac{AD}{DP}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\)
\(\frac{1}{HF^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{NH^2}\Rightarrow HF=\frac{HE.NH}{\sqrt{HE^2+NH^2}}=a\sqrt{\frac{24}{155}}\)
