Cho hình bình hành ABCD. Qua một điểm S trong hình bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC tại M, P và cũng qua S kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB, CD tại N và Q. Gọi I là giao điểm của AS và DP. Chứng minh ba điểm B, I ,Q thẳng hàng.
Ai onl đi ngang qua làm ơn ra tay nghĩa hiệp cứu giúp 1 lần Y_Y T bị ngu hình.....
Sử dụng định lý Menelaus. Nếu bạn chưa được học thì chứng minh nó như một bổ đề để sử dụng vào bài toán thôi.
Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB . Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\)
CM phần thuận:
Kẻ các đường cao \(AA',BB',CC'\) xuống đường thẳng chứa \(D,E,F\)
Khi đó:
\(\frac{AF}{BF}=\frac{AA'}{BB'};\frac{BD}{CD}=\frac{BB'}{CC'}; \frac{CE}{AE}=\frac{CC'}{AA'}\)
\(\Rightarrow \frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\) (đpcm)
CM phần đảo:
Giả sử \(ED\cap AB\equiv F'\), do \(D,E,F'\) thẳng hàng nên theo kết quả cm ở phần thuận, ta có \(\frac{AF'}{BF'}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\)
Kết hợp với \(\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\Rightarrow \frac{AF}{BF}=\frac{AF'}{BF'}\)
Do đó, dễ dàng thấy \(F\equiv F'\Leftrightarrow D,E, F\) thẳng hàng.
Sử dụng kết quả trên vào bài toán:
Xét tam giác $MAS$ có: \(D\in MA, I\in SA, P\in MS\) và \(D,I,P\) thẳng hàng nên: \(\frac{DA}{DM}.\frac{IS}{IA}.\frac{PM}{PS}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{DA}{SQ}.\frac{IS}{IA}.\frac{AB}{PS}=1(*)\)
Xét tam giác $NAS$ có:
\(\frac{AB}{NB}.\frac{SI}{AI}.\frac{QN}{QS}=\frac{AB}{SP}.\frac{IS}{IA}.\frac{\\DA}{SQ1}=\) (theo \((*)\))
Do đó sử dụng kết quả bổ đề trên ta thu được \(B,I,Q\) thẳng hàng
