Question

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, \(f'\left(x\right)2x+\dfrac{1}{x^2}\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).

Answer 1

Vì \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}  = 2\int {xdx}  + \int {{x^{ - 2}}dx}  = {x^2} - \frac{1}{x} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(1 - 1 + C = 1\), suy ra \(C = 1\). Do đó, hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1\)

Vậy \(f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}\)