Question

Cho góc nhọn xOy.Trên tia Ox xác định hai điểm A và B sao cho điểm A nằm giữa hai điêm O và B .Trên tia Oy xác định hai điểm C và D sao cho OC=OA,OD=OB.Gọi I là giao điểm của AD và BC.Chứng minh rằng:

a)AD=BC b)AI=IC c)OI \(\perp\)BD

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)OAD và \(\Delta\)OCB có:

OA = OC (gt)

\(\widehat{O}\) chung

OD = OB (gt)

=> \(\Delta\)OAD = \(\Delta\)OCB (c.g.c)

=> AD = CB (2 cạnh t/ư)

b) Vì \(\Delta\)OAD = \(\Delta\)OCB (câu a)

=> \(\widehat{ODA}\) = \(\widehat{OBC}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{CDI}\) = \(\widehat{ABI}\)

và \(\widehat{OAD}\) = \(\widehat{OCB}\) (2 góc t/ư)

Ta có: \(\widehat{OAD}\) + \(\widehat{IAB}\) = 180o (kề bù)

\(\widehat{OCB}\) + \(\widehat{ICD}\) = 180o (kề bù)

mà \(\widehat{OAD}\) = \(\widehat{OCB}\)

=> \(\widehat{IAB}\) = \(\widehat{ICD}\) Lại có: OA + AB = OB OC + CD = OD mà OA = OC; OB = OD => AB = CD Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)DCI có:

\(\widehat{IAB}\) = \(\widehat{ICD}\) (c/m trên)

BA = DC (c/m trên)

\(\widehat{CDI}\) = \(\widehat{ABI}\) (c/m trên)

=> \(\Delta\)BAI = \(\Delta\)DCI (g.c.g)

=> AI = IC (2 cạnh t/ư)

c) Gọi giao điểm của OI và BD là E.

Do \(\Delta\)BAI = \(\Delta\)DCI (câu b)

=> AI = CI (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)AOI và \(\Delta\)COI có:

AO = CO (gt)

OI chung

AI = CI (c/m trên)

=> \(\Delta\)AOI = \(\Delta\)COI (c.c.c)

=> \(\widehat{AOI}\) = \(\widehat{COI}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{BOE}\) = \(\widehat{DOE}\)

Xét \(\Delta\)BEO và \(\Delta\)DEO có:

BO = DO (gt)

\(\widehat{BOE}\) = \(\widehat{DOE}\) (c/m trên)

OE chung

=> \(\Delta\)BEO = \(\Delta\)DEO (c.g.c)

=> \(\widehat{BEO}\) = \(\widehat{DEO}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{BEO}\) + \(\widehat{DEO}\) = 180o (kề bù)

=> \(\widehat{BEO}\) = \(\widehat{DEO}\) = 90o

Do đó OE \(\perp\) BD hay OI \(\perp\) BD.

Answer 2

a,Xét \(\Delta AOD\)và\(\Delta COB\)có

\(OD=OB\)

\(\widehat{AOC}\)là góc chung

\(OA=OC\)

\(\rightarrow\Delta AOD=\Delta COB\left(c.g.c\right)\)

\(\rightarrow AD=BC\)( 2 cạnh tương ứng )

b,Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OD\\OA=OC\end{matrix}\right.\rightarrow OB-OA=OD-OC\)

Hay \(AB=CD\)

Mặt khác : \(\Delta AOB=\Delta COB\)

\(\Rightarrow\widehat{ODA}=\widehat{OBC}hay\widehat{CDI}=\widehat{ABI}\)

\(\Delta AOD=\Delta COB\)

\(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{OCD}hay\widehat{OAI}=\widehat{OCI}\)

\(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}=180^0\)

\(\widehat{DCI}+\widehat{OCI}=180^0\)

Mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{DCI}\)

Xét \(\Delta AIB\)và\(\Delta CID\)có

\(\widehat{ABI}=\widehat{CDI}\)

\(AB=CD\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{DCI}\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta CDI\)

\(\Rightarrow AI=CI\)(2 cạnh tương ứng )