Các cung \(\overset\frown{MN}, \overset\frown{NP}, \overset\frown{PQ}, \overset\frown{QR}, \overset\frown{RM}\) chia đường tròn (O; R) thành 6 cung có số đo bằng nhau, suy ra số đo mỗi cung là 360o : 5 = 72o.
Ta có \(\widehat {MON}\) là góc nội tiếp chắn cung MN suy ra \(\widehat {MON}\) = 72o .
Xét \(\Delta \)MON, có: OM = ON = R suy ra \(\Delta \) MON cân tại O.
Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM}\) (tính chất tam giác cân)
Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {MON}}}{2} = {54^o}\).
Tương tự, ta có \(\widehat {OPN} = \widehat {ONP} = {54^o}\).
Suy ra \(\widehat {MPN} = \widehat {ONM} + \widehat {ONP} = {54^o} + {54^o} = {108^o}\).
Xét \(\Delta \) OMN và \(\Delta \) ONP có:
\(\widehat {MON} = \widehat {NOP}\);
OM = OP;
ON chung.
Suy ra \(\Delta \) OMN = \(\Delta \) ONP (c – g – c).
Do đó, MN = NP (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta thu được ngũ giác MNPQR có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng nhau ( = 108o).
Vậy MNPQR là một đa giác đều.