Question

Cho ΔABC có các góc đều nhọn. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a. ΔAEF đồng dạng với ΔABC

b. BH.BE + CH.CF = BC\(^2\)

Answer 1

b.

Vẽ đường cao AD cũng cắt BE và CF

Xét tam giác BDH và tam giác BEC có:

góc D = E = 90^o

góc B chung

Do đó: tam giác BDH~BEC (g.g)

=> \(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\Rightarrow BH.BE=BD.BC\) (1)

Xét tam giác CHD và tam giác CBF có:

góc D = F = 90^o

góc C chung

Do đó: tam giác CHD~CBF (g.g)

=> \(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CD}{CF}\Rightarrow CH.CF=CD.BC\) (2)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được:

\(BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.BC\)

\(\Rightarrow BH.BE+CH.CF=BC\left(BD+CD\right)\)

\(\Rightarrow BH.BE+CH.CF=BC^2\)

Answer 2

a xét △ AEB và △AFC có

\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\)

\(\widehat{A}CHUNG\)

=> △ AEB ∼ △AFC (g.g)

=> \(\dfrac{AE}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{FA}{AC}\)

xét △ AEF và △ ABC có

\(\widehat{A}CHUNG\)

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{FA}{AC}\)

=> △ AEF ∼ △ ABC (c.g.c )(đpcm)