Question

Cho Δ ABC vuông cân tại A , qua A vẽ đường thẳng d nằm ngoài Δ. Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên d. Chứng minh rằng

a, ΔAHB= ΔCKA

b, BH²+CK² không phụ thuộc vào vị trí của d

Answer 1

a,ta có :\(\widehat{HAB}+\widehat{KAC}=180^0-\widehat{BAC}=180-90=90^0\)

\(\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)(tam giác HBA vuông tại H )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{KAC}=\widehat{HBA}\)

Xét \(\Delta AHBvà\Delta CKAcó:\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{CKA}=90^0\)

\(AB=CK\)(tam giác ABC vuông cân tại A)

\(\widehat{HBA}=\widehat{KAC}\)

Vậy \(\Delta AHB=\Delta CKA\left(cạnhhuyền-gócnhọn\right)\)

Answer 2

b, Xét \(\Delta HBAcó:\)

BH²=BA²-AH²(theo định lí Py-ta-go đảo ) (1)

CM tương tự ta có : KC²=AC²-AK²(2)

Cộng vế vế (1) và (2) ta được :

BH²+KC²=AB²-AH²-AC²-AK²(3)

Ta có : \(\Delta AHB=\Delta CKA\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HA=KC\\AK=BH\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH^2=KC^2\\AK^2=HB^2\end{matrix}\right.\)(4)

Thay (4) vào (3) ta được (3):

BH²+KC²=AB²-KC²+AB²-HB²(doAB =AC \(\Rightarrow\)AC²=AB²)

\(\Rightarrow\)2(BH²+KC²)=2AB²

\(\Rightarrow\)BH²+KC²=AB²

mà cạnh AB của tam giác ABC không đổi (gt)

\(\Rightarrow\)BH²+KC² không phụ thuộc vào vị trí của d