Ta có
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có
\(\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\) (1)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (2)
Rút gọn 2 bên ta được
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge ab+bc+ca\)
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Từ(1) và (2) suy ra đpcm