a) Xét ΔABC và ΔHBA có
\(\widehat{ABC}\) chung
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)
b) Xét ΔHBA và ΔHAC có
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
Do đó: ΔHBA∼ΔHAC(g-g)
⇒\(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}\)
hay \(AH^2=HB\cdot HC\)(đpcm)
c) Xét ΔACD và ΔHCE có
\(\widehat{CAD}=\widehat{CHE}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ACD}=\widehat{HCE}\)(CD là đường phân giác của ΔACB)
Do đó: ΔACD∼ΔHCE(g-g)
⇒\(\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=\left(\frac{AC}{HC}\right)^2\)
hay \(\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=\left(\frac{4}{HC}\right)^2\)(1)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=3^2+4^2=25\)
hay \(BC=\sqrt{25}=5cm\)
Ta có: ΔABC∼ΔHBA(cmt)
mà ΔHBA∼ΔHAC(cmt)
nên ΔABC∼ΔHAC
⇒\(\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}\)
hay \(HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}=3,2cm\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=\left(\frac{4}{3,2}\right)^2=\frac{25}{16}\)
