\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác do \(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le1\\b^2\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b\ge a^2+b^2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)
Cho a>c ;b>c; c>0.CMR:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\) \(\leq\) \(\sqrt{ab}\)
a) Giải phương trình \(2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}=x-1\)
b) Cho 2 số thực a,b > 0 thỏa a+b+3ab=1. Tìm GTNN của P= \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{3ab}{a+b}\)
Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c \(\ge9\)
Tìm Min:
\(P=2\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}+\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a}}{2+b\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{2+c\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{2+a\sqrt{c}}\ge1\)
Cho a,b,c > 0 thỏa abc=1.Chứng minh :
\(P=\dfrac{1}{\sqrt{a\left(1+b\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{b\left(1+c\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{c\left(1+a\right)}}>2\)
Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c \(\le\) 3. C/m rằng: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
Help ạ
Bài 1: Cho a,b>0; \(a^2+b^2\le16.\)Tìm GTLN của M= \(a\sqrt{9b\left(a+8b\right)}+b\sqrt{9a\left(b+8a\right)}\)
Bài 2: Cho a,b,c >\(\dfrac{25}{4}\). Tìm GTNN của P=\(\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
Bài 3: Cho a,b,b >0 và ab+bc+ca =1. Chứng minh:
\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le2\left(a+b+c\right)\)
Bài 4: Cho 2 số thực a,b thay đổi, thỏa mãn điều kiện a+b\(\ge1\) và a>0. Tìm GTNN của A= \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\)
Bài 5: Cho x,y thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3.\) Tìm GTNN của A= \(x^2+2xy-2y^2+2y+10\)
Bài 6: Với mọi a>1, chứng minh:
a+\(\dfrac{1}{a-1}\ge3\)
cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
Chứng minh rằng \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\)
cho a, b, c > 0. thỏa mãn : a\(\sqrt{1-b^2}\) + b\(\sqrt{1-c^2}\) + c\(\sqrt{1-a^2}\) = \(\dfrac{3}{2}\). chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 =\(\dfrac{3}{2}\)
