Ta có :
A=5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ....... + 5^19 + 5^20
=> Tổng A có số hạng tử là: (20 -1)/1 + 1 = 20
=> Ta có thể chia tổng A thành 6 nhóm 3 số và thừa ra ngoài 2 số
A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4 + 5^5) + .......... + (5^18 + 5^19 + 5^20)
=> A = ( 5 + 25) + 5^3*(1 + 5 + 5^2) + ...... + 5^18*(1 + 5 + 5^2)
=> A = 30 + (1 + 5 + 5^2)*(5^3 + .... + 5^18)
=>A = 30 + 31*(5^3 + ....... + 5^18)
Vì 31 chia hết cho 31 nên 31*(5^3 + ..... +5^18) cùng chia hết cho 31
mà 30 chia cho 31 dư 30
=> Tổng A chia cho 31 dư 30
Vậy A chia cho 31 dư 30
\(A=5+5^2+5^3\left(1+5+5^2\right)+5^6\left(1+5+5^2\right)+...+5^{18}\left(1+5+5^2\right)\)
\(A=5+25+\left(1+5+5^2\right)\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\)
\(A=30+31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\)
Ta thấy \(31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)⋮31\) dư 0
\(A=30+31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\div31\) dư 30
Ta có :
A = 5+5^2+(5^3+5^4+5^5)+(5^6+5^7+5^8)+...+(5^18+5^19+5^20)
A=30+5^3×(1+5+5^2)+5^6×(1+5+5^2)+...+5^18×(1+5+5^2)
A=30+5^3×31+5^6×31+...+5^18×31
Ta có 5^3×31 chia hết cho 31
5^6×31chia hết cho 31
........
5^18×31chia hết chi 31
=>5^3×31+5^6×31+...+5^18×31 chia hết cho 31
=>30+5^3×31+5^6×31+...+5^18×31 chia 31 dư 30
=> A : 31 dư 30
Vậy .....
