Câu hỏi của Nhi Le

Question

C1/Chứng minh rằng phương trình $x^3+mx^2+\left(m-3\right)x-1=0$(m là tham số),có 3 nghiệm phân biệt với mọi m.

C2/Cho f(x)=$\frac{x^3}{3}$+(m-1)$x^2$+(m+1)$x$.Tìm giá trị của m...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Câu 1: Đặt $f\left(x\right)=x^3+mx^2+\left(m-3\right)x-1$ Ta có $f\left(0\right)=-1$ ; $f\left(-1\right)=1$ $\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;0\right)$ Mặt khác $\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=-1< 0\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=+\infty\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;+\infty\right)$ $\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1>0\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=-\infty\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-\infty;-1\right)$ Vậy pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt với mọi m Câu 2: $f'\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m+1$ Để $f'\left(x\right)\ge0$ $\forall x$ $\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\le0$ $\Leftrightarrow m^2-3m\le0\Leftrightarrow0\le m\le3$Câu trả lời: Câu 1: Đặt $f\left(x\right)=x^3+mx^2+\left(m-3\right)x-1$ Ta có $f\left(0\right)=-1$ ; $f\left(-1\right)=1$ $\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;0\right)$ Mặt khác $\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=-1< 0\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=+\infty\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;+\infty\right)$ $\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1>0\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=-\infty\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow f\left(x\right)$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-\infty;-1\right)$ Vậy pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt với mọi m Câu 2: $f'\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m+1$ Để $f'\left(x\right)\ge0$ $\forall x$ $\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\le0$ $\Leftrightarrow m^2-3m\le0\Leftrightarrow0\le m\le3$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

Câu 3:

Nhận thấy $x=0$ không phải nghiệm

$\Leftrightarrow2x^3+3x^2-2=-mx$

$\Leftrightarrow\frac{2x^3+3x^2-2}{x}=-m$

Đặt $f\left(x\right)=\frac{2x^3+3x^2-2}{x}\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{\left(6x^2+6x\right)x-\left(2x^3+3x^2-2\right)}{x^2}=\frac{4x^3+3x^2+2}{x^2}$

$f'\left(x\right)=\frac{4x^2\left(x+1\right)+2-x^2}{x^2}\Rightarrow f'\left(x\right)>0$ $\forall x\in\left(-1;1\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(-1;1\right)$

$\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=-\infty$

$\Rightarrow y=-m$ luôn cắt đồ thị $y=f\left(x\right)$ hay phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $\left(-1;1\right)$ với mọi mCâu trả lời: Câu 3: