Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.
1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh CA.CB=CH.CD.
3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.
4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh giúp mình câu 4 với
Tôi sẽ chứng minh câu 4. Để cho đỡ rối mắt, tôi đã lược bỏ đi một số đường thẳng không liên quan đến câu 4.
Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại K của (O) và AB, ta có điểm I cố định. Ta cần chứng minh M, N, I thẳng hàng để MN đi qua điểm cố định là I.
Ta có OKI vuông tại K có KC là đường cao nên OK2=OC.OI (hệ thức) Mà OK=OM (cùng là bán kính) ⇒ OM2=OC.OI hay \(\frac{OC}{OM}=\frac{OM}{OI}\)
Xét △COM và △MOI có: \(\widehat{MOC}\) là góc chung, \(\frac{OC}{OM}=\frac{OM}{OI}\) (cmt)
Suy ra △COM~△MOI (c.g.c) ⇒ \(\widehat{C_4}\)=\(\widehat{OMI}\) (2 góc tương ứng) (1)
Ta có ANHC nội tiếp ⇒ \(\widehat{A_1}\)=\(\widehat{C_1}\) (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{NH}\))
BMHC nội tiếp ⇒ \(\widehat{B_1}\)=\(\widehat{C_2}\) (nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{MH}\))
Xét (O) có: \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_1}\) là 2 góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{MN}\) ⇒ \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{B_1}\) = \(\frac{1}{2}\)sđ \(\stackrel\frown{MN}\) , từ đó suy ra \(\widehat{NCM}\) = \(\widehat{C_1}\)+\(\widehat{C_2}\) = sđ\(\stackrel\frown{MN}\)
Hơn nữa, vì \(\widehat{MON}\) là góc ở tâm chắn \(\stackrel\frown{MN}\) nên \(\widehat{MON}\) = sđ\(\stackrel\frown{MN}\)
Suy ra \(\widehat{NCM}\) = \(\widehat{MON}\), mà 2 góc ấy cùng nhìn MN nên OMNC nội tiếp (bài toán cung chứa góc) ⇒ \(\widehat{OMN}\) + \(\widehat{NCO}\) = 180° (tính chất)
Mà \(\widehat{C_3}\)+ \(\widehat{NCO}\) = 180° (2 góc kề bù) suy ra \(\widehat{C_3}\) = \(\widehat{OMN}\) (2)
Ta có \(\widehat{C_1}\)+\(\widehat{C_3}\)=\(\widehat{C_2}\)+\(\widehat{C_4}\)=90°, mà \(\widehat{C_1}\)=\(\widehat{C_2}\) suy ra \(\widehat{C_3}\)=\(\widehat{C_4}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{OMN}\)=\(\widehat{OMI}\) nên M,N,I thẳng hàng
Vậy khi M di động trên cung \(\stackrel\frown{KB}\) thì MN luôn đi qua một điểm cố định là giao điểm của tiếp tuyến tại K của (O) và AB.
