Question

a) Với \(h \ne 0,\) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích.

b) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} = 1\) và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Answer 1

a) \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x = 2\cos \frac{{2x + h}}{2}.\sin \frac{h}{2}\)

b) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)

Vậy hàm số y = sin x  có đạo hàm là hàm số \(y' = \cos x\)