Question

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của cung căng dây ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Answer 1

a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB, nghĩa là cung AC = cung CB suy ra ∠O₁ = ∠O₂

Gọi I là giao điểm của CD và AB. Khi đó OI là phân giác, đồng thời là trung tuyến của tam giác OAB (Do ΔOAB cân đỉnh O)

Vậy I là trung điểm của AB.

+ Mệnh đề đảo không đúng vì nếu dây cung AB cũng là một đường kính thì dây CD đi qua trung điểm của dây AB nhưng không đi qua điểm chính giữa của cung AB.

+ Để mệnh đề đảo chúng ta cần bổ sung thêm: Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

b) Thuận: Giả sử đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB ⇒ cungAC = cungCB ⇒ AOC = COB ⇒ OC là tia phân giác của góc ∠AOB

Vì ΔOAB cân đỉnh O nên đường phân giác đồng thời là đường cao.

Vậy: OC ⊥ AB hay CD ⊥ AB.

Đảo: Giả sử đường kính AB ⊥ CD tại I.

Khi đó: OI là tia phân giác của góc ∠AOB ⇒ AOC = BOC ⇒ AC= BC

⇒ C là điểm giữa cung AB.