Thời gian chuyển động trong nửa quãng đường đầu là :
\(t_1=\dfrac{s_1}{v_1}=\dfrac{s}{2v_1}\)
Thời gian chuyển động trong nửa quãng đường còn lại là :
\(t_2=\dfrac{s_2}{v_2}=\dfrac{s}{2v_2}\)
Vận tốc trung bình là :
\(v_{tb}=\dfrac{s}{t_1+t_2}=\dfrac{s}{\dfrac{s}{2v_1}+\dfrac{s}{2v_2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2v_1}+\dfrac{1}{2v_2}}=\dfrac{1}{\dfrac{v_2+v_1}{2v_1.v_2}}=\dfrac{2v_1.v_2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)
Ta tính hiệu của vtb và trung bình cộng của v1 và v2 có :
\(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}-\dfrac{v_1+v_2}{2}\)
\(=\dfrac{4v_1v_2-v^2_1-2v_1v_2-v^2_2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(v^2_1-2v_1v_2+v^2_2\right)}{2\left(v_1+v_2\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(v_1-v_2\right)^2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)
Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}-\left(v_1-v_2\right)^2< 0\\2\left(v_1+v_2\right)>0\end{matrix}\right.\Rightarrow-\left(v_1-v_2\right)^2< 2\left(v_1+v_2\right)\)
Suy ra : Vận tốc trung bình này không lớn hơn trung bình cộng của v1 và v2.
