Đường tròn (C) có tâm \(I=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\), bán kính \(R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
a, Tọa độ giao điểm có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x-7y=0\\3x-4y-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{93}{25}\\y=\dfrac{51}{25}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(1;0\right)\\\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy các giao điểm là \(\left(1;0\right),\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\)
b, +) Giao điểm \(M=\left(1;0\right)\)
Phương trình tiếp tuyến qua \(M=\left(1;0\right)\) có dạng: \(\Delta:ax+by-a=0\)
Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|\dfrac{1}{2}.a+\dfrac{7}{2}b-a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|7b-a\right|=5\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow49a^2+14ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow7a=-b\)
\(\Rightarrow\Delta:x-7y-1=0\)
+) Giao điểm \(\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\)
Tượng tự ta tìm được: \(\Delta:161x-73y-450=0\)
Vậy hai tiếp tuyến cần tìm là: \(\Rightarrow\Delta:x-7y-1=0\) và \(\Delta:161x-73y-450=0\)
c, Giao điểm hai tiếp tuyến có tọa độ là nghiệm hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-7y-1=0\\161x-73y-450=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{181}{62}\\y=\dfrac{17}{62}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow H=\left(\dfrac{181}{62};\dfrac{17}{62}\right)\)
Vậy \(H=\left(\dfrac{181}{62};\dfrac{17}{62}\right)\) là giao điểm hai tiếp tuyến.
