a.
Do \(d||\Delta\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình d có dạng: \(x-y+c=0\) với \(c\ne2\)
Chọn \(A\left(0;2\right)\) là 1 điểm thuộc \(\Delta\)
\(d\left(d;\Delta\right)=5\Rightarrow d\left(A;d\right)=5\Rightarrow\dfrac{\left|0-2+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=5\)
\(\Rightarrow\left|c-2\right|=5\sqrt{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=2+5\sqrt{2}\\c=2-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng d thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}x-y+2+5\sqrt{2}=0\\x-y+2-5\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
b.
\(\Delta\) có 1 vtpt là (2;-1), do \(d\perp\Delta\Rightarrow d\) có 1 vtpt là (1;2)
Phương trình có dạng: \(x+2y+c=0\)
\(d\left(A;d\right)=4\Rightarrow\dfrac{\left|3+2.1+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=4\)
\(\Rightarrow\left|c+5\right|=4\sqrt{5}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-5+4\sqrt{5}\\c=-5-4\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng d thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}x+2y-5+4\sqrt{5}=0\\x+2y-5-4\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\)
c.
Gọi pt d có dạng: \(a\left(x-2\right)+b\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow ax+by-2a=0\) với \(a^2+b^2>0\)
Do \(d\left(B;d\right)=\sqrt{3}\Rightarrow\dfrac{\left|-2a+2b-2a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\left|4a-2b\right|=\sqrt{3\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow16a^2-16ab+4b^2=3a^2+3b^2\)
\(\Leftrightarrow13a^2-16ab+b^2=0\)
Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=8+\sqrt{51}\\b=8-\sqrt{51}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-2\right)+\left(8+\sqrt{51}\right)y=0\\1\left(x-2\right)+\left(8-\sqrt{51}\right)y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\left(8+\sqrt{51}\right)y-2=0\\x+\left(8-\sqrt{51}\right)y-2=0\end{matrix}\right.\)
