a,\(P=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x}{\sqrt{x}-x}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1+x+1}{x-1}=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
b,* Khi x = 3 thay vào biểu thức P ta được :
P=\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\)
*Khi x = \(3+2\sqrt{2}\) thay vào biểu thức P ta được :
\(P=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}-1}=\dfrac{\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}}{\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}-1}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2-1}}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-1}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
(phần này mk ko chắc chắn cho lắm )
c, Ta có : P ∈ Z => \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\in Z\) ( đkxđ : x >0 )
=> \(\dfrac{\sqrt{x}+1-1}{\sqrt{x}-1}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\in Z\)
=> \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(1\right)\)
=>\(\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2\right\}\)
=>\(x\in\left\{0;4\right\}\)
mà theo điều kiện xác định x > 0
nên x =4 ( nhận )
vậy để P nguyên thì x = 4
