Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất ?
Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)
Vậy tam giác ABC là tam giác gì ?
Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}\)
Mặt khác :
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)
Theo giả thiết ta có :
\(\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) hay \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A
Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì ?
Theo giả thiết ta có :
\(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AC}^2=0\)
Ta suy ra ABC là tam giác có \(AB=AC\) (Tam giác cân tại A)
Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau :
a) \(a=7;b=10;\widehat{C}=56^029'\)
b) \(a=2;c=3;\widehat{B}=123^017'\)
c) \(b=0,4;c=12;\widehat{A}=23^028'\)
a) \(c^2=a^2+b^2-2abcosC\)
\(=7^2+10^2-2\times7\times10\times cos56^o29\)
\(\approx71,69\Rightarrow c\approx8,5\)
b) \(b^2=a^2+c^2-2accosB\)
\(=2^2+3^2-2\times2\times3\times cos123^o17\)
\(\approx17,4\Rightarrow b\approx4,2\)
c) \(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)
= \(0^2+12^2-2\times0\times12\times cos23^o28\)
\(=144\Rightarrow a\approx12\)
Tam giác ABC có \(\widehat{B}=60^0;\widehat{C}=45^0;BC=a\). Tính độ dài hai cạnh AB và AC ?
Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}=75^o\)
* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}\Rightarrow AB=\dfrac{BCsinC}{sinA}=a\left(1+\sqrt{3}\right)\)
* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}\Rightarrow AC=\dfrac{BCsinB}{sinA}=a\left(\dfrac{-6+3\sqrt{2}}{2}\right)\)
Tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^0;b=20;c=35\)
a) Tính chiều cao \(h_a\) ?
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ?
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ?
Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.
Chứng minh rằng :
\(b^2-c^2=a\left(b\cos C-c\cos B\right)\)
Ta có : \(a\left(bcosC-ccosB\right)=abcosC-accosB\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}=\dfrac{2b^2-2c^2}{2}\)
\(=b^2-c^2\)
Vậy \(b^2-c^2=a\left(bcosC-ccosB\right)\)
Tam giác ABC có BC = 12 cm, CA = 13 cm, trung tuyến AM = 8
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính góc B
Giải tam giác ABC biết : \(a=14;b=18;c=20\)
\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{18^2+20^2-14^2}{2\times18\times20}=\dfrac{11}{15}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}\approx43^o\)
\(cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{14^2+20^2-18^2}{2\times14\times20}=\dfrac{17}{35}\)
\(\Rightarrow\widehat{B}\approx61^o\)
Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{C}=180^0-61^o-43^o=76^o\)
Giải tam giác ABC biết : \(\widehat{A}=60^0;\widehat{B}=40^0;c=14\)
Có: \(\widehat{C}=180^0-\widehat{A}-\widehat{B}=180^0-60^0-40^0=80^0\)
Áp dụng định lý hàm số sin ta có:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{sin60^0}=\dfrac{14}{sin80^0}\\\dfrac{b}{sin40^0}=\dfrac{14}{sin80^0}\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a\approx12.31\\b\approx9.14\end{matrix}\right.\)