Bài 1: Giới hạn của dãy số

a) Nhận xét: u₁ = ; u₂ = ; u₃ = ; ... u_n = .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

b) lim u_n = lim ()ⁿ= 0 = vì lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

c) Đổi 10^-6 g = . kg = kg.

Muốn có u_n = < , ta cần chọn n₀ sao cho 2ⁿ₀ > 10⁹. Chẳng hạn, với n₀ = 36, thì

2³⁶ = (2⁴)⁹ = 16 ⁹ > 10⁹. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864 000 (năm), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.

Vì lim = 0 nên || có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, ta có |u_n -1| < = || với mọi n. Nếu |u_n -1| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (u_n -1) = 0. Do đó lim u_n = 1.

a) lim = lim = = 2.

b) lim = lim = .

c) lim = lim = 5.

d) lim = lim == .

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên u₁ = ()² = .

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên u₂ = ()² = .

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên u₃ = ()^{2 = .}

Tương tự, ta có u_n =

b) Dãy số (u_n) là một cặp số nhân lùi vô hạn với u₁ = và q = . Do đó

lim S_n = .

Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1 = -1 và q = - .}

_{Vậy S = -1 + - + ... + + ... = = = .}

Ta có a = 1, 020 020 ... = 1+ + + ...+ + ...

= 1 +

Vì , , ..., , ... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u_{1 = , q = .}

a) lim (n³ + 2n² – n + 1) = lim n³ (1 + ) = +∞

b) lim (-n² + 5n – 2) = lim n² ( -1 + ) = -∞

c) lim ( - n) = lim
= lim = lim = lim = .

d) lim ( + n) = lim ( + n) = lim n ( + 1) = +∞.

a) lim = = 2;

b) lim = = 0.