Question

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau 1 khoảng thời gian \(T=24000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã)

Gọi \(u_n\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n

a) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \(\left(u_n\right)\)

b) Chứng minh rằng \(\left(u_n\right)\) có giới hạn là 0

c) Từ kết quả của câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\) 

Answer 1

a) Nhận xét: u₁ = ; u₂ = ; u₃ = ; ... u_n = .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

b) lim u_n = lim ()ⁿ= 0 = vì lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

c) Đổi 10^-6 g = . kg = kg.

Muốn có u_n = < , ta cần chọn n₀ sao cho 2ⁿ₀ > 10⁹. Chẳng hạn, với n₀ = 36, thì

2³⁶ = (2⁴)⁹ = 16 ⁹ > 10⁹. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864 000 (năm), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.