Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{a+2b^2}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a+2b^2}\cdot\dfrac{a+2b^2}{9}}=\dfrac{2a}{3}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT+\dfrac{a+b+c+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{3+2\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{9}\ge\dfrac{2}{3}\cdot3\)

\(\Leftrightarrow VT+1\ge2\Leftrightarrow VT\ge1\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(x^5-x^4+3x^3+3x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-2x^4+5x^3-2x^2+x+x^4-2x^3+5x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^4-2x^3+5x^2-2x+1\right)+\left(x^4-2x^3+5x^2-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^4-2x^3+5x^2-2x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x^4-2x^3+5x^2-2x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^4-2x^3+5x^2-2x+1=0\left(☺\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(x=0\) không là nghiệm của \(pt\left(☺\right)\) chia 2 vế của \(pt\left(☺\right)\) cho \(x^2\) được:

\(pt\left(☺\right)\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+5=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow pt\left(☺\right)\Leftrightarrow t^2-2t+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2+2>0\forall t\) (vô nghiệm)

Vậy pt có nghiệm duy nhất...

Đề cần thêm \(x,y,z>0\) và hình như đề sai

Xét phương trình (2):

\(\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}-2y+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}-x=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{x^2+4y^2}{2}-4y^2}{\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+2y}+\dfrac{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}-x^2}{\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{x^2-4y^2}{2}}{\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+2y}+\dfrac{\dfrac{-2x^2+2xy+4y^2}{3}}{\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}{2}}{\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+2y}+\dfrac{\dfrac{-2\left(x+y\right)\left(x-2y\right)}{3}}{\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}+x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(\dfrac{\dfrac{x+2y}{2}}{\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+2y}+\dfrac{\dfrac{-2\left(x+y\right)}{3}}{\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}+x}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-2y=0\Rightarrow x=2y\)

Thay vào phương trình (1):

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(8y^3+6y+1\right)=0\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=1\)

Nghiệm kia xấu quá mình cho qua nhé :)

1 nhân tử là x-2y

ĐKXĐ:\(x\ge 2;y\ge3\)

Lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{x-y+1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y}}+\dfrac{x-y+1}{\sqrt{y-3}-\sqrt{x-2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y-3}-\sqrt{x-2}}\right)=1\)

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(xy+y+1\right)}\)

Tương tự cho 2 BĐT trên rồi cộng theo vế:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xyz}{xy+y+xyz}+\dfrac{x}{xyz+xz+x}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz+x+1}+\dfrac{x}{xz+x+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{xz+x+1}{xz+x+1}=\dfrac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Sửa :P và Q là trung điểm BH và HC nhé