1,Tam giác ABE là tam giác cân tại A do AB=AE(gt)

Mặt khác ta có AB=AE,BD=CE

=>AB+BD=AE+CE hay AD =AC => tam giác ACD là tam giác cân tại A

2,ΔABE cân tại A => ∠ABE=∠AEB

Xét ΔAHB và ΔAHE có:

+∠AHB=∠AHE(=90độ)

+AB=AE(cmt)

+∠ABH=∠AEH(cmt)

=>ΔAHB=ΔAHE(cạnh huyền-góc nhọn)

=>∠BAH=∠EAH(2 góc tương ứng)

=> ΔADK=ΔACK(c.g.c)

=>∠AKD=∠AKC=90độ

Vậy ∠AKD =90độ

a, Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AB²+AC²=BC² hay 5²+12²=BC²

=> 169=BC² => BC=13

b,Xét ΔDBE và ΔABE có:

+BE cạnh chung

+∠DBE=∠ABE(=90độ)

+DB=AB(gt)

=> ΔDBE=ΔABE(c.g.c)(đpcm)

=>DE=AE(2 cạnh tương ứng) => ΔAED cân tại E(đpcm)

c,Xét ΔDFB và ΔAKB có:

+∠DFB=∠AKB(=90độ)

+DB=AB(gt)

+∠DBF=∠ABK(đối đỉnh)

=> ΔDFB=ΔAKB(cạnh huyền-góc nhọn)

=> FB=KB(2 cạnh tương ứng) => B là trung điểm của FK(đpcm)

d,Từ C,vẽ đường thẳng CF // AD(F và D nằm cùng phía đối với AC,CF=AD)

Xét ΔDAC và ΔFCA có:

+AD=FC(gt hình phụ)

+∠DAC=∠FCA(=90độ)

+AC cạnh chung

=>ΔDAC=ΔFCA(c.g.c)

=>DC=AF(2 cạnh tương ứng)(1)

Mặt khác ∠DAC=∠FCA(=90độ) mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía của AD và CF => AD//CF => ∠ADE=∠ECF,∠DAE=∠EFC(2 cặp góc ở vị trí so le trong)

Xét ΔDAE và ΔEFC có:

+∠ADE=∠ECF(cmt)

+AD=FC(gt hình phụ)

+∠DAE=∠EFC(cmt)

=>ΔDAE=ΔEFC(g.c.g)

=>DE=EC,AE=EF(2 cạnh tương ứng)

Từ DE=EC => E là trung điểm của DC(2)(đpcm)

Từ AE=EF => E là trung điểm của AF(3)

Từ (1),(2),(3) => DE=EC=AE=EF

ΔAEC có AE=EC => ΔAEC cân tại E(đpcm)

P/s: Bạn tự vẽ hình nha!

Học tốt

a,Xét ΔAMB và ΔNMC có:

+AM=MN(gt)

+∠AMB=∠NMC(đối đỉnh)

+BM=MC(gt)

=> ΔAMB=ΔNMC(c.g.c)

=>∠ABM=∠MCN(2 cạnh tương ứng) mà 2 góc này ở vt so le trong của AB và CN

=> AB//CN(đpcm)

b,Từ ΔAMB=ΔNMC => AB=CN(2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔNCB có:

+AB=CN(cmt)

+∠ABC=∠BCN(cmt)

+BC cạnh chung

=> ΔABC=ΔNCB(c.g.c)

c,Ta có: ∠DAB=∠CAE(=90độ)

=> ∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC hay ∠DAC=∠BAE

Xét ΔDAC và ΔBAE có:

+DA=AB(gt)

+∠DAC=∠BAE(cmt)

+AC=AE(gt)

=>ΔDAC=ΔBAE(c.g.c)

=> DC=BE(2 cạnh tương ứng),∠ADC=∠ABE(2 góc tương ứng)

Gọi giao điểm của DC và BE là F

Có ΔADB vuông cân tại A

=>∠ADB+∠ABD=90độ

Lại có ∠ADC=∠ABE(cmt)

=>∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=90độ hay ∠FDB+∠FBD=90độ

ΔFDB có ∠FDB+∠FBD=90độ => ∠DFB=90độ hay DC⊥EB

a,Xét ΔOHC và ΔOKB có:

+∠CHO=∠OKB(=90độ)

+OC=OB(gt)

+∠O chung

=> ΔOHC=ΔOKB(cạnh huyền-góc nhọn)

=> CH=BK,OH=OK(2 cạnh tương ứng)

Ta có: OC=OB,OK=OH

=> OC-OK=OB=OH hay KC=HB

Vậy CH=BK,KC=HB(đpcm)

b,Xét ΔIKC và ΔIHB có:

+∠IKC=∠IHB(=90độ)

+KC=HB(cmt)

+∠KIC=∠HIB(đối đỉnh)

=> ΔIKC=ΔIHB(cạnh góc vuông-góc nhọn không kề)

c,Từ ΔIKC=ΔIHB => IC=IB(2 cạnh tương ứng)

Xét ΔCOI và ΔBOI có:

+OC=OB(gt)

+OI cạnh chung

+IC=IB(cmt)

=> ΔCOI=ΔBOI(c.c.c)

=>∠COI=∠BOI(2 góc tương ứng) hay OI là phân giác ∠xOy

d,Gọi giao điểm của KH và OI là M

Xét ΔKOM và ΔHOM có:

+OK=OH(cmt)

+∠KOM=∠HOM(cmt)

+OM cạnh chung

=>ΔKOM=ΔHOM(c.g.c)

=>∠OIH=∠OIK(2 góc tương ứng),KM=HM(2 cạnh tương ứng)

Ta có ∠OIH=∠OIK mà ∠OIH+∠OIK=180độ(2 góc kề bù)

=> ∠OIH=∠OIK=90độ hay OM⊥KH

Thấy OM⊥KH,KM=HM => OM là đường trung trực của đoạn KH hay OI là đường trung trực của đoạn KH

a,Xét ΔHAC và ΔBAC có:

∠HAC+∠AHC+∠C=∠ABC+∠BAC+∠C(=180độ)

Lại có ∠BAC=∠AHC(=90độ)

=> ∠HAC=∠ABC(đpcm)

Xét ΔBHA và ΔBAC có:

∠B+∠BAC+∠BCA=∠B+∠BHA+∠HAB(=180độ)

Lại có ∠BAC=∠BHA(=90độ)

=> ∠BCA=∠HAB(đpcm)

b,Xét ΔBHA và ΔBHM có:

+BH cạnh chung

+∠BHA=∠BHM(=90độ)

+HA=HM(gt)

=>ΔBHA=ΔBHM(c.g.c)

=> BA=BM(2 cạnh tương ứng)

c,Từ ΔBHA=ΔBHM => ∠BAH=∠BMH(2 góc tương ứng)

Xét ΔBMC và ΔBAC có:

+BC cạnh chung

+∠MBC=∠ABC(cmt)

+BA=BM(cmt)

=> ΔBMC = ΔBAC(c.g.c)

=> ∠BMC=∠BAC(2 góc tương ứng)

=>∠BMC=90 độ(đpcm)

d,Xét ΔADB và ΔADC có:

∠ABD+∠ADB+∠BAD=∠DCA+∠ADC+∠DAC(=180độ)

Lại có: ∠BAD=∠DAC(tia phân giác ∠A)

=> ∠ABD+∠ADB=∠DCA+∠ADC

=>∠ABD-∠DCA=∠ADC-∠ADB(đổi vế chuyển dấu)

hay ∠ABC-∠ACB=∠ADC-∠ADB(đpcm)

P/s: Hình bạn tự vẽ nha! ^^

Học tốt