Bài 16:

a) Ta có: \(A=\dfrac{6}{n-3}\left(n\in Z\right)\)

Để biểu thức \(A\) là phân số thì \(n-3\ne0\Leftrightarrow n\ne3\)

Vậy \(n\ne3\) thì biểu thức \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A=\dfrac{6}{n-3}\left(n\in Z\right)\)

Để biểu thức \(A\) là số nguyên thì \(n-3\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{4;2;5;1;6;0;9;-3\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{4;2;5;1;6;0;9;-3\right\}\)thì biểu thức \(A\) là số nguyên.

c) Ta có: \(A=\dfrac{6}{n-3}\left(n\in Z\right)\)

Thay \(n=0\) vào biểu thức \(A\) ta có: 

\(A=\dfrac{6}{0-3}=-2\)

Thay \(n=10\) vào biểu thức \(A\) ta có:

\(A=\dfrac{6}{10-3}=\dfrac{6}{7}\)

Thay \(n=-2\) vào biểu thức \(A\) ta có:

\(A=\dfrac{6}{-2-3}=\dfrac{-6}{5}\)

a) Ta có: \(A=\dfrac{4}{n-1}\left(n\in Z\right)\)

Để biểu thức \(A\) là phân số thì \(n-1\ne0\Leftrightarrow n\ne1\)

Vậy \(n\ne1\) thì biểu thức \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(\dfrac{4}{n-1}\left(n\in Z\right)\)

Để biểu thức \(A\) là số nguyên thì \(n-1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{2;0;3;-1;5;-3\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{2;0;3;-1;5;-3\right\}\) thì biểu thức \(A\) là số nguyên.

Câu 3:

a) Ta có: \(x^2-2mx-1=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=4m^2+4\ge4>0\forall m\)

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\).

b) \(x^2_1+x^2_2-x_1x_2=7\) (1)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2_1+2x_1x_2+x^2_2\right)-2x_1x_2-x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

\(\Rightarrow\left(2m\right)^2-3.\left(-1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow m=\pm1\)

Vậy \(m=\pm1\) thì \(x^2_1+x^2_2-x_1x_2=7\).

Xét \(\Delta AHC\left(\widehat{AHC}=90^o\right)\) có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\) (định lí pitago)

\(\Rightarrow AH^2=AC^2-HC^2\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{5^2-4^2}=3\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right)\) có:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{5^2}\)

\(\Rightarrow AB=3,75\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right)\) có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí pitago)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{3,75^2+5^2}=6,25\left(cm\right)\)